Iniciamos el nuevo semestre, con todo el positivismo y empeño en el asignatura, en este día lo principal de la materia, fue , indicaciones generales y modo de calificación.
Iniciamos la semana 1 con el siguiente tema:
GEOMETRIA ANALITICA EN EL ESPACIO
FUNCIONES IMPLICITAS
R2 F(X,Y) = 0 Función implícita de dos variables, existen 2 posibles funciones:
i) x(y) ---- x = f(y)
ii) y(x) ---- y = g(x)
SISTEMA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
i) x(y) ---- x = f(y)
ii) y(x) ---- y = g(x)
SISTEMA DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
f (x,y) = 0
g (x,y) = 0
Cada función representa una curva en R2, la intersección de 2 o mas curvas, genera uno o mas puntos.
Rectas en el espacio
Ecuación vectorial de la recta
Ecuaciones paramétricas de la recta
Ecuaciones continuas de la recta
Ecuaciones implícitas de la recta
El plano
Ecuación vectorial del plano
Ecuaciones paramétricas del plano
. Determinar las ecuaciones parametricas del plano
π ≡ x − 2y + z − 1 = 0
Solucion: Elegimos dos variables libres como parametros, por ejemplo
y = λ
y z = µ, quedando x = 1 + 2 λ − µ
y = λ
z = µ
La direccion viene dada por los vectores
~u(2, 1, 0) ~v(−1, 0, 1)
Recta en R3
Se aplica los conceptos de suma y resta de vectores con los datos y se hallan las ecuaciones simétricas de la recta.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
Sea la distancia, la longitud entre la recta y una perpendicular a esta que pase por el punto.
d=//A*(R1-R0)//
Siendo:
d: la distancia punto recta
A: vector director de la recta
R1: Vector posicion del punto
R0: vector posicion de un punto de la recta
d=//A*(R1-R0)//
Siendo:
d: la distancia punto recta
A: vector director de la recta
R1: Vector posicion del punto
R0: vector posicion de un punto de la recta
Ángulo entre recta y plano
Si la recta r y el plano π son perpendiculares, el vector director de la recta y el vector normal del plano tienen la misma dirección y, por tanto, sus componentes son proporcionales.
EL PLANO EN R3
SEMANA 3
Distancia entre rectas paralelas
Distancia entre rectas que se cruzan
Sean 
y 
las determinaciones lineales de las rectas r y s.
y las determinaciones lineales de las rectas r y s.
Haz de planos
Un haz de planos es el conjunto de planos que pasan por una misma recta. Y este conjunto es infinito.
Si necesitan entonccontrar este haz los pueden hacer con la expresion:
(a1+ka2)x+(b1+kb2)y+(c1+kc2)z+(d1+kd2)=0
Esto podria aplicarse si ya conocemos dos de los planos pasan por la recta siendo estos
plano 1: a1x+b1y+c1z+d1=0
plano 2: a2x+b2y+c2z+d2=0
y sea k una constante que pertenezca a los reales.
La esfera
Una esfera es un conjunto de puntos tales que todos ellos sean equidistantes de otro punto en el espacio.
La esfera esta determinada por la expresion:
r^2=(R-R0)^2
r: radio de la esfera
R: posicion de los puntos de la esfera
R0: posicion del punto centro de la esfera
o en su forma escalar como
(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2
sean los subceros las componetes del vector posicion del centro y x,y,z las componentes de un punto de la esfera.
Superficies de segundo orden
Cilindros y superficies cuadraticas
Estas superficies tienen en general la forma
ax^2+by^2+cz^2+exy+fxz+hyz+ix+ky+lz+m=0
La elipsoide
Tiene la forma de una esfera aplastada. Algo similar a un balon de futbol americano.
Se la determina con la expresion:
Un haz de planos es el conjunto de planos que pasan por una misma recta. Y este conjunto es infinito.
Si necesitan entonccontrar este haz los pueden hacer con la expresion:
(a1+ka2)x+(b1+kb2)y+(c1+kc2)z+(d1+kd2)=0
Esto podria aplicarse si ya conocemos dos de los planos pasan por la recta siendo estos
plano 1: a1x+b1y+c1z+d1=0
plano 2: a2x+b2y+c2z+d2=0
y sea k una constante que pertenezca a los reales.
La esfera
Una esfera es un conjunto de puntos tales que todos ellos sean equidistantes de otro punto en el espacio.
La esfera esta determinada por la expresion:
r^2=(R-R0)^2
r: radio de la esfera
R: posicion de los puntos de la esfera
R0: posicion del punto centro de la esfera
o en su forma escalar como
(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2
sean los subceros las componetes del vector posicion del centro y x,y,z las componentes de un punto de la esfera.
Superficies de segundo orden
Cilindros y superficies cuadraticas
Estas superficies tienen en general la forma
ax^2+by^2+cz^2+exy+fxz+hyz+ix+ky+lz+m=0
La elipsoide
Tiene la forma de una esfera aplastada. Algo similar a un balon de futbol americano.
Se la determina con la expresion:
SEMANA 4
Analisis grafico de superficies en el espacio.
Analisis grafico de superficies en el espacio.
Para analizar las superficies con ecuaciones que no se nos hacen familiares podemos seguir los siguientes pasos para hacernos una idea de como se presentan en el espacio.
1) Se encuentran los puntos de interseccion de la superficie con los ejes coordenados
Ejem: Si buscas la interseccion con el eje x entoces las coordenadas en y,z deben
cero asi que reemplazas en tu encuacion (x,y,z)=(x,0,0).
2) Encuentras las curvas que se forman en los planos coordenados.
Ejem: si buscas la curva en el plano XOZ entonces sabes que su coordenada en
Y = 0 asi que reemplazas en tu ecuacion (x,y,z)=( x,0,z).
3) Encuentras las curvas que se forman en planos que sean paralelos a los planos coordenados.
Ejem: Si los planos paralelos que buscas son paralelos al YOZ entonces sabras que X=K
siendo K una constante perteneciente a los reales cualquiera. Asi que reemplazas en tu
ecuacion (x,y,z)=(K,y,z)
Con estas curvas y puntos ya puedes hacerte una idea de como seria la grafica final. siendo la grafica final lo qu obtienes al dibujar todos los pasos anteriores en el mismo sistema coordenado.
BIBLIOGRAFIA:
https://assassinezmoi.files.wordpress.com/2011/03/planos-en-r3.pdf
http://www.vitutor.net/2/17/geometria_espacio.html
http://personales.unican.es/gonzaleof/Ciencias_2/rectasC2.pdf
http://www.monografias.com/trabajos-pdf5/superficies-cuadraticas/img11.jpg
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