Julio

JULIO

PRIMERA SEMANA

CAMPO VECTORIAL

Definición de campo vectorial

Físicamente un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial.
Matemáticamente se define un campo vectorial como una función vectorial de las coordenadas o como un caso especial de una transformación no necesariamente lineal. , en donde  representa el espacio vectorial que hace las veces de dominio y  el espacio vectorial que actúa como rango.

INTEGRALES DE LINEA

 https://www.youtube.com/watch?v=QjsoFEU1rR4


En matemática, una integral de línea o curvilínea es aquella integral cuya función es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o del plano complejo, se llama también INTEGRAL DE CONTORNO.
Ejemplos prácticos de su utilización pueden ser:
  • El cálculo de la longitud de una curva en el espacio;
  • El cálculo del volumen de un objeto descrito por una curva, objeto del que se posee una función (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de la curva;
  • Ó también para el cálculo del trabajo que se realiza para mover algún objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actúen sobre el mismo.
DIVERGENCIA ROTACIONAL

ROTACIONAL





Rotacional
Se entiende por rotacional al operador vectorial que muestra la tendencia de un campo a inducir rotación alrededor de un punto. También se define como la circulación del vector sobre un camino cerrado del borde de un área con dirección normal a ella misma cuando el área tiende a cero (Ecuación 1).
(1)
Aquí, S es el área de la superficie apoyada en la curva C , que se reduce a un punto. El resultado de este límite no es el rotacional completo (que es un vector), sino solo su componente según la dirección normal a Sy orientada según la regla de la mano derecha. Para obtener el rotacional completo deberán calcularse tres límites, considerando tres curvas situadas en planos perpendiculares.
El rotacional de un campo se puede calcular siempre y cuando este sea continuo y diferenciable en todos sus puntos.
El resultado del rotacional es otro campo vectorial que viene dado por el determinante de la siguiente ecuación:
(2)
Las propiedades más destacadas del rotacional de un campo son:
•  Si el campo escalar f(x,y,z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden entonces el rot (f) =0
•  Si F(x,y,z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F) = 0

•  Si el campo vectorial F(x,y,z) es una función definida sobre todo  cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F) = 0, entonces F es un campo vectorial conservativo.

DIVERGENCIA


La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo saliente en una superficie que encierra un elemento de volumen dV . Si el volumen elegido solamente contiene fuentes o sumideros de un campo, entonces su divergencia es siempre distinta de cero.
La divergencia de un campo vectorial en un punto es un campo escalar, que se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen conforme el volumen alrededor del punto tiende a cero, para el caso del campo magnético la divergencia viene dada por la ecuación
(3)
donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el límite, B es el campo magnético, V es el volumen que encierra dicha superficie S y es el operador nabla, que se clacula de la sigueinte forma:
(4)
La divergencia de un campo es un valor escalar con signo. Si este signo es positivo, quiere decir que el campo emana hacia el exterior de dicho punto y, por tanto, es una fuente o manantial. Si el signo es negativo, el campo converge hacia un punto del interior del volumen, por lo que constituiría un sumidero. Si la divergencia fuese cero el campo neto (diferencia entre las líneas entrantes y salientes) sería nulo.
En el caso de los campos magnéticos se ha comprobado la ausencia de fuentes y/o sumideros de ahí que una de sus propiedades sea que su divergencia es nula (ecuación 5).
(5)
Los campos cuya divergencia es cero se denominan campos solenoidales, que se caracterizan porque sus líneas de campo son cerradas sobre si mismas, es decir, no tienen extremos donde nacen o mueren. De tener dichos extremos, el flujo neto alrededor de uno de ellos no sería nulo, lo cual denotaría la existencia de una fuente o sumidero del campo.


En coordenadas cilíndricas


La expresión correspondiente para la divergencia calculada en coordenadas cilíndricas es un poco más complicada que en cartesianas
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial\ }{\partial \rho}\left(\rho A_\rho\right)+\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}+\frac{\partial A_z}{\partial z}

Ejemplos

La divergencia del vector de posición,
\mathbf{A}=\mathbf{r}=\rho\mathbf{u}_\rho+z\mathbf{u}_z
calculada en coordenadas cilíndricas nos da
\nabla\cdot\mathbf{A}=\nabla\cdot\mathbf{r}=\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial\ }{\partial \rho}\left(\rho^2\right)+\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial 0}{\partial \varphi}+\frac{\partial z}{\partial z}=\frac{2\rho}{\rho}+0+1 = 3
que naturalmente coincide con el resultado obtenido empleando cartesianas.
Para el campo \mathbf{B} definido anteriormente
\mathbf{B}=-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y = \rho\mathbf{u}_\varphi
la divergencia resulta
\nabla\cdot\mathbf{B}=\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial\ }{\partial \rho}\left(\rho\,0\right)+\frac{1}{\rho}\,\frac{\partial \rho}{\partial \varphi}+\frac{\partial\,0}{\partial z} = 0+0+0 = 0

 En coordenadas esféricas

La expresión correspondiente en esféricas es considerablemente más complicada que las dos anteriores
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{r^2}\,\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^2 A_r\right)+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\,\frac{\partial\ }{\partial \theta}\left(\mathrm{sen}\,\theta\,A_\theta\right)+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}

Ejemplos

La divergencia del vector de posición,
\mathbf{A}=\mathbf{r}=r\,\mathbf{u}_r
calculada en coordenadas esféricas es
\nabla\cdot\mathbf{A}=\nabla\cdot\mathbf{r}=\frac{1}{r^2}\,\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^3\right)+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\,\frac{\partial\ }{\partial \theta}\left(\mathrm{sen}\,\theta\,0\right)+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial 0}{\partial \varphi}=\frac{3r^2}{r^2}+0+0=3
Para el campo \mathbf{B} definido anteriormente
\mathbf{B}=-y\mathbf{u}_x+x\mathbf{u}_y = r\,\mathrm{sen}\,\theta\mathbf{u}_\varphi
la divergencia resulta


\nabla\cdot\mathbf{B}=\frac{1}{r^2}\,\frac{\partial\ }{\partial r}\left(r^20\right)+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\,\frac{\partial\ }{\partial \theta}\left(\mathrm{sen}\,\theta\,0\right)+\frac{1}{r\,\mathrm{sen}\,\theta}\frac{\partial\ }{\partial \varphi}\left(r\,\mathrm{sen}\,\theta\right)=0+0+0=0




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