Mayo

SEMANA 1

FUNCIONES VECTORIALES

En la ciencia y la ingeniería a menudo es conveniente introducir un vector r con las funciones f y g como componentes.

R(t) = < f(t), g(t)> =f(t)i + g(t)j

Se dice que r es una función vectorial. De manera semejante, una curva en el espacio es parametrizada por 3 ecuaciones

X = f(t) y = g(t) z = h(t) a " t " b

Una función vectorial se expresa como:

R(t) = < f(t),g(t), h(t) > = f(t) I +g(t) j + h(t)k

Cuando t varia es posible imaginar que la curva C esta siendo trazada por la punta móvil de r(t)

CURVAS PARAMETRICAS

Curvas parametricas Imaginemos un objeto que se mueve en un plano y, a medida que transcurre el tiempo, describe un camino como el representado por la curva de la Figura 1. Si bien notamos que esta curva no puede ser descripta Figura 1: Curva en el plano por una ecuacion de la forma y = F(x) (¿por qu´e?), sabemos que las coordenadas x e y de la posicion de la partıcula dependen del instante de tiempo t. Por lo tanto existiran funciones f y g de la variable (o parametro) t, tales que x = f(t) e y = g(t). Este par de ecuaciones, que muchas veces es una forma conveniente para describir una curva, se llama ecuaciones parametricas de la curva en el plano: x = f(t) y = g(t)

EJEMPLO 1: Parametrizacion de una recta. Sea L la recta en el espacio que pasa por los puntos P(2, 4, −3) y Q(3, −1, 1). Dar una funcion vectorial que la parametrice. Observamos que el vector −−→P Q = 3 − 2, −1 − 4, 1 − (−3) = (1, −5, 4) es paralelo a la recta L. Si tomamos a P(2, 4, −3) como un punto de la recta y ~v = −−→P Q como un vector director, entonces: x = 2 + t y = 4 − 5t z = −3 + 4t son ecuaciones parametricas de la recta, seg´un aprendimos en la Gu´ıa 1. Luego ~r(t) = (2 + t, 4 − 5t, −3 + 4t), t ∈ R es una representaci´on de L mediante una funcion vectorial. Grafique la curva parametrica. Elija 5 valores de t e indique en el grafico a que puntos sobre la recta corresponden, seg´un la parametrizacion dada. ¿En qu´e sentido es recorrida la recta, de acuerdo a esta parametrizacion? Si se restringe el dominio de ~r(t) al intervalo finito [0, 1], ¿que curva representa en este caso ~r(t)? ¿Y para t ∈ [−1, 2]? 2-6 Figura 5: Ejemplo 4. Segmento rectilıneo orientadO.

EJEMPLO 2: Parametrizaci´on de la curva determinada por la intersecci´on entre dos superficies. Considerar la curva determinada por la intersecci´on entre la superficie cil´ındrica dada por la ecuaci´on F(x, y, z) = x 2 + y 2 − 1 = 0 (cilindro circular de eje z y radio 1) y la superficie plana dada por G(x, y, z) = y + z − 2 = 0. Ver Figura 7. Encontrar una funci´on vectorial que describa la curva intersecci´on, e indicar el sentido asignado por la parametrizaci´on propuesta. A partir de la figura, notamos que la curva intersecci´on C es una curva cerrada y tiene la forma de una elipse sobre el plano dado. Un punto cualquiera P(x, y, z) que est´a en la curva debe verificar simult´aneamente ambas ecuaciones, dado que pertenece a ambas superficies a la vez: x 2 + y 2 = 1 y + z = 2 Buscamos expresar x, y, z en t´erminos de un par´ametro t de forma de verificar ambas ecuaciones. Vemos que si tomamos x(t) = cost, y(t) = sen t se satisface la ecuaci´on del cilindro x 2+y 2 = 1. Usando

SEMANA 2

LIMITES Y CONTINUIDAD

DEFINICION: ´ Si ~r(t) = f(t) ˘ı + g(t) ˘ + h(t) ˘k, el lımite de la funcion vectorial ~r(t) cuando t tiende a t0 es lım t→t0 ~r(t) = lım t→t0 f(t) ˘ı + lım t→t0 g(t) ˘+ l´ım t→t0 h(t) ˘k siempre que existan los límites de las funciones componentes. Los l´ımites de funciones vectoriales siguen las mismas reglas que los l´ımites de funciones escalares de una variable real. EJEMPLO 9: Si ~r(t) = cost ˘ı + sen t ˘+ t ˘k, con t ∈ R, entonces l´ım t→π/4 ~r(t) = l´ım t→π/4 cost ˘ı + l´ım t→π/4 sen t ˘+ l´ım t→π/4 t ˘k = √ 2 2 ˘ı + √ 2 2 ˘+ π 4 ˘k. La continuidad de una funcion vectorial se define de manera similar a la continuidad de una funcion escalar. DEFINICION: ´ Una funcion vectorial ~r(t) es continua en t = t0 si: 1. existe ~r(t0) 2. existe lım t→t0 ~r(t) 3. se verifica que l´ım t→t0 ~r(t) = ~r(t0) Propiedad: Se prueba facilmente (hacerlo) que ~r(t) es continua en t0 si y solo si todas sus funciones componentes son continuas en t0.

APLICACIONES 

VECTORES TANGENTE UNITARIO Y NORMAL PRINCIPAL.

TRIEDRO MÓVIL

Sea C una curva alabeada:

r(t) = f1(t)i + f2(t)j + f3(t)k

cada par de vectores forman un plano:

PLANO OSCULADOR: T ^ N

PLANO NORMAL: N ^ B

PLANO RECTIFICANTE: T ^ B

Vector Binormal: r'(t) x r''(t) = B

Vector Normal : B x T

 EC. PLANO OSCULADOR (PO):  B1(X - Xo) + B2(Y - Yo) + B3(Z - Zo) = 0

EC. PLANO NORMAL (PNP):  T1(X - Xo) + T2(Y - Yo) + T3(Z - Zo) = 0

EC. PLANO RECTIFICADOR (PR): N1(X - Xo) + N2(Y - Yo) + N3(Z - Zo) = 0

EC. RECTA TANGENTE (RT):  (X - Xo)/T1 = (Y - Yo)/T2 = (Z - Zo)/T3

EC. RECTA BINORMAL (RB):  (X - Xo)/ B1 = (Y - Yo)/ B2 = (Z - Zo)/ B3

EC. RECTA NORMAL PRINCIPAL (RNP):  (X - Xo)/ N1 = (Y - Yo)/ N2 = (Z - Zo)/ N3

CLASES DE CURVATURAS

CURVATURA DE FLEXIÓN (K) 

El radio de curvatura es k^-1

CURVATURA DE TORSIÓN (T)

El radio de torsión es T^-1

SEMANA 3

FUNCIONE DE VARIAS VARIABLES

Funciones de varias variables Definición 1 (Función de varias variables) Sea D un subconjunto de Rn . Si a cada (x1, . . . , xn) ∈ D le corresponde un único número real f (x1, . . . , xn) se dice que f es una función de las variables x1, . . . , xn. Ejemplo 2 Las funciones definidas anteriormente A (b, h) = b · h I (x1, x2) = p1 · x1 + p2 · x2 f (x, y) = C · x a · y 1−a son funciones de dos variables. Definición 3 (Dominio y recorrido) El conjunto D de la definición anterior se llama dominio de f, y el conjunto de valores f (x1, . . . , xn) correspondiente a dicho dominio se llama recorrido de f. Ejemplo 4 f (x, y) = x 2 + y 2 La función f está definida para todo (x, y) ∈ R2 y por tanto el dominio de f es D = R2 . Como f puede alcanzar cualquier valor no negativo, el recorrido es R = {z ∈ R : z ≥ 0}. f (x, y) = log xy Para que la función f esté definida es necesario que xy > 0 entonces x > 0 y > 0 o bien x < 0 y < 0 así el dominio de f será el siguiente conjunto y el recorrido es R = R. 2 Observación 5 Si f y g son funciones de n variables, es decir, f : R n → R y g : R n → R entonces las siguiente operaciones nos dan lugar a nuevas funciones de n variables: Suma y diferencia: (f ± g) (x1, . . . , xn) = f (x1, . . . , xn) ± g (x1, . . . , xn) Producto: (fg) (x1, . . . , xn) = f (x1, . . . , xn) g (x1, . . . , xn) Cociente: Si g (x1, . . . , xn) = 0 entonces f g (x1, . . . , xn) = f (x1, . . . , xn) g (x1, . . . , xn) 

LIMITES Y CONTINUIDAD

Una función es continua si el límite de un determinado punto existe y es igual a la función.

lim(x,y)→(a,b)f(x,y)=f(a,b)

Pero, ¿Cómo saber si el limite existe siquiera?
A diferencia de funciones de una variables que sólo tiene dos caminos para aproximarse al limite (por izquierda y derecha) en funciones de dos variables existen infinitos caminos para acercarse al límite.
Sea la definición de límite

|f(x,y)−L|<ε⟹|(x,y)−(x1,y1)|<δ

de la segunda parte visualizamos lo siguiente:

|(x−x1,y−y1)|<δ(x−x1)2+(y−y2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√<δ(x−x1)2+(y−y2)2<δ2

y confirmamos que ahora no existen 2 caminos de aproximamiento sino todo un circulo de infinitos caminos.

Por conclusión decimos: El límite existe si el límite es el mismo por TODOS los caminos de aproximamiento.
Para demostrar la excistencia del límite es recomendable optar por uno de los dos caminos que describiré a continuación.

1.- Transformación a coordenadas polares.
Sabiendo que:

x=rcosθy=rsenθr=x2+y2−−−−−−√

esto veámoslo en un ejemplo

lim(x,y)→(0,0)xy2x2+y2=limr→0r3((cosθ)(sinθ)2)r2((cosθ)2+(sinθ)2)=limr→0r((cosθ)(sinθ)2)=0

y así queda demostrado que el límite existe y que es cero.

2.- Por la definición.
Este método únicamente demuestra que existe el límite mas no obtiene su valor.

∣∣∣xy3x2+y2−L∣∣∣<ε⟹|(x,y)−(0,0)|<δ∣∣∣xy3x2+y2∣∣∣<ε1⟹x2+y2−−−−−−√<δ∣∣∣xy3x2+y2∣∣∣<x2+y2<ε1⟹x2+y2<δ2x2+y2<ε1⟹x2+y2<δ2seaε1=δ2x2+y2<δ2⟹x2+y2<δ2

ya que ambos lados son correspondientes entonces se concluye que el límite existe.

Para la continuidad tenemos 2 casos específicos 
- La función es continua
- La función no es continua

Si la función no es continua tenemos otros dos casos:
-La continuidad es evitable
-La continuidad es inevitable.

La continuidad es evitable si se cumple lo siguiente:

∋/f(a,b)∧∋lim(x,y)→(0,0)f(x,y)

Entonces se la puede redefinir y hacerla continua. En caso contrario no se puede hacer nada.

SEMANA 4

DERIVADAS PARCIALES

La derivada de una función de varias variables es igual a la suma de sus derivasdas parciales. Las derivadas parciales son derivadas en función de las variables tomando como constantes a las variables sobre las cuales no se esta derivando. Se nota más claramente en la formula.

fl(x1,x2,....,xn)=∂f∂x1+∂f∂x2+.....+∂f∂xn

Interpretación

∂f ∂x	es la razón de cambio de f a medida que cambia x, cuando y se permanece constante.
∂f ∂y	es la razón de cambio de f a medida que cambia y, cuando x se permanece constante.

Derivadas parciales de orden superior 
Si f está una función de x, y, y posiblemente otras variables, entonces

∂2f ∂x2

se define como

∂ ∂x ∂f ∂x

En forma parecida,

∂2f ∂y2	se define como	∂ ∂y ∂f ∂y
∂2f ∂y∂x	se define como	∂ ∂y ∂f ∂x
∂2f ∂x∂y	se define como	∂ ∂x ∂f ∂y

La derivada parcial del segundo orden se puede escribir también como f_xx, f_yy, f_xy, y f_yxrespectivamente.
Las ultimas dos se llaman derivadas mixtas y estarán siempre iguales cuando todas las derivadas de primer y segundo orden están continuas.

http://www.mate.unlp.edu.ar/practicas/114_2_13032015221336.pdf

http://www.ingenieria.unam.mx/~colomepg/FUNCIONES_VECTORIALES.pdf

https://www.uam.es/personal_pdi/economicas/abautist/Asignaturas/Otros/notasam.pdf